Espace métrique \((E,d)\)
Couple, où \(d\) est une
Distance sur l'ensemble \(E\).
- l'ensemble \({\mathcal B}\) des Boule ouvertes forme une Base de \(E\)
- définition alternative de la Topologie d'une espace métrique : les ouverts sont les ensembles qui contiennent une boule ouverte centrée autour de chacun de leurs éléments $$\tau=\{A\subset E\mid \forall x\in A,\exists r\gt 0,B(x,r)\subset A\}$$
- est à Base de voisinages dénombrable
- les espaces métriques sont Séparés, ce qui garantit l'unicité des limites lorsqu'elles existent
- caractérisation de la Convergence dans un espace métrique : la distance avec la limite ne dépasse plus aucun seuil au bout d'un certain temps $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\quad d(u_n,u)\lt \varepsilon$$
- caractérisation de la Continuité en \(a\) dans un espace métrique : les antécédents proches ont des images proches$$\begin{array}{}\forall\varepsilon\gt 0,\exists \eta\gt 0,\forall y\in E,\quad d(a,y)\lt \eta\implies d(f(a),f(y))\lt \varepsilon\end{array}$$
- reformulation en utilisant les boules ouvertes : pour tout rayon, on peut trouver un autre rayon telle que l'image de la boule du deuxième rayon centrée en \(a\) est incluse dans la boule du premier rayon centrée sur l'image $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists \eta\gt 0,\quad f(B(a,\eta))\subset B(f(a),\varepsilon)$$
- si \(E\) est séparable via \(A\subset E\), alors \(\mathcal U_0=\{B(a,r)\mid a\in A,r\in{\Bbb Q}_+^*\}\) est une base dénombrable d'ouverts de \(E\)
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner deux exemples de distances qui définissent la
Topologie usuelle sur les réels.
Verso: La
Distance euclidienne classique et la distance \(d:(x,y)\mapsto \lvert\arctan x-\arctan y\rvert\)
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Définir la
Topologie discrète à l'aide d'une distance.
Verso: On utilise la
Distance triviale $$d:(x,y)\mapsto 1-\delta_{x,y}$$
Bonus:
END
